空间解析几何

向量的运算

线性运算

本质是\(\mathbb{R}^3\)上的线性空间。这一部分基本线代课上都讲过

数量积

\(a\cdot b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \in \mathbb{R}\)

几何意义

\(a\cdot b=|a||b|\cos <a,b>\)
\(a\cdot b=0 \leftrightarrow a ⊥b\)

用向量方法证明三角形三条高交于一点已知\(\vec{AH}\cdot \vec{BC}=\vec{BH}\cdot \vec{AC}=0\), 求证\(\vec{CH}\cdot \vec{AB}=0\)

\(\vec{CH}\cdot \vec{AB}=(\vec{CA}+\vec{AH})\cdot(\vec{AH}+\vec{HB})=\vec{AH}\cdot (\vec{CA}+\vec{AH}+\vec{HB})\cdot\vec{CA}+\vec{HB}=0+0=0\)

向量积

\[a\times b=\left |\begin{array}{cccc} \bf{i} &\bf{j} & \bf{k} \\ x_1 &y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 &z_2 \\ \end{array}\right| \in \mathbb{R}^3 \]

几何意义:

\(|a\cdot b|=|a||b|\sin <a,b>\),即\(a,b\)围成的平行四边形面积
\(a\times b=\vec{0} \leftrightarrow a//b\)
\(a\times b\)与\(a,b\)都垂直

性质:

\(a\times b=-b\times a\)

混合积

\[a\cdot (b\times c) =\left |\begin{array}{cccc} x_1 &y_1 & z_1 \\ x_2 &y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 &z_3 \\ \end{array}\right| \]

证明根据行列式的展开

几何意义 - \(a,b,c\)共面的充要条件是\(a\cdot (b\times c)=0\). 证明: 共面,则三个向量线性相关,秩<3 - \(|a\cdot (b\times c)|\)是以\(a,b,c\)为棱的平行六面体体积

性质：

顺次调换混合积中的矢量，混合积结果不变(行列式做了2次行交换)
对调混合积中的矢量，混合积结果反号(做了1次行交换)

二重矢积

\(a\times (b\times c)\)称为二重矢积

性质:

与b,c共面的矢量（右手定则)
既然共面,那如何线性表示? \(a\times(b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c\)

平面和直线方程

平面方程

已知法向量\((A,B,C)\),平面上一点\((x_0,y_0,z_0)\)

由内积为0推出点向式 \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)

由此可推出一般式 \(Ax+By+Cz+D=0\)

求平面方程: - 已知三点,用\(\vec{AB}\times \vec{AC}\) - 已知一点和一条直线. 用\(\vec{PM}\times \vec{v}\),M是直线上任取一点

直线方程

已知方向向量\((l,m,n)\),平面上一点\((x_0,y_0,z_0)\) 参数式方程:

\[\begin{cases} x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases} \]

点向式方程(又叫对称式方程):

\[\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n} \\ \]

如果\(l,m,n\)中有一个为0,那就拆出一个\(x=x_0\)

一般式方程(两平面方程联立):

\[\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} \]

这几种方程的联系: 因为两个平面不平行才能确定直线,故法向量线性无关, \(r(a,b,c,d)=r(a,b,c)=2\). 那么联立后形成的非齐次线性方程组必有解，且只有一个自由变量。把自由变量用基础解系的方式写出,就变成了参数式方程。进而化成点向式方程

注意一般式方程中两平面的法向量叉乘\(v_1\times v_2\)就是直线的方向向量。

点线面的距离和夹角

梦回高中...

(1)点到直线的距离：别忘了减法求出\(P_0P\):

\[h=\frac{|\vec{P_0P}\times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|} \]

(2)点在直线上的投影:

除了用距离做.也可以设出过点\(P(x_0,y_0,z_0)\),法向量为直线方向向量的平面方程\(l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)=0\). 再与直线的一般式联立。

(3)点在平面上的投影: 设出方向向量为平面法向量的直线，联立求交点。 (3-1)点关于平面对称点: 设出垂直于平面的直线，求交点。遇到光的反射之类的问题同理

(4)线线角: \(\cos \theta=|\cos<\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}>|\) (5)线面角: \(\sin \theta=|\cos<\mathbf{v},\mathbf{n}>|\) (6)二面角 :\(\cos \theta=\cos(\mathbf{n_1},\mathbf{n_2})\) 注意线、面的夹角都取锐角

(7)异面直线间的距离:

\[d=\frac{|\vec{M_1M_2}\cdot(\bf{v_1\times v_2)|}}{|\bf{v_1\times v_2}|} \]

对应平行六面体的高。

(7-1)求两异面直线公垂线与直线交点

过\(L_2\)作平行于\(L_1\)的平面\(\pi\) ，法向量满足\(v_1\times v_2=n\)。过\(L_1\)作垂直于\(\pi\)的平面\(\pi_1\),法向量\(n_1=v_1\times n\). 联立\(\pi_1\)和\(L_2\)就可以得到公垂线与\(L_2\)交点。另一点同理

(7-2)求两异面直线公垂线方程

(7-1)求两异面直线公垂线方程

同7-1求出过\(L_1\)的\(\pi_1\),再求出过\(L_2\)的\(\pi_2\)，两平面交线就是公垂线。

(8)直线在平面上的投影直线:

法一：先求过直线L且垂直于平面π的平面\(\pi_1\)。则\(\pi_1\)的法向量与直线L的方向向量,平面π的法向量都垂直。 \(\bf{n_1}=v\times n\). 然后在L上任取一点写出\(\pi_1\)的方程，再加上平面π方程写出一般式方程即可

法二：平面束方程

求直线和平面方程

(直线的比较难，一般通过构造过直线的平面求交点或交线): 注意有两解\(6x+y+6z=\pm6\)

过M0作垂直于l的平面,解得交点过P0作平行于\(\pi\)的平面

平面束方程

类比高中的直线束方程。 \(\lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0\)表示通过一条直线的所有平面(\(\lambda,\mu\)不同时为零，且两方程系数不成比例)。其中直线方程\(\begin{cases} f(x,y,z)=0\\g(x,y,z)=0\end{cases}\)

如果写成\(\lambda f+g\)的形式，注意单独检验\(\lambda f\)

例: 求两平面的角平分面。先设出平面束方程,然后\(\frac{|n_1\cdot n|}{|n_1|}=\frac{|n_2\cdot n|}{|n_2|}\)

注意有两解

曲面方程

一般的曲面方程

球面方程: \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\)

柱面方程: 平行于定直线且沿定曲线\(C\)(称为准线)移动的直线(称为母线)形成的曲面

设\(\begin{cases} F(x,y)=0\\z=0\end{cases}\). 母线的方向向量为\((a,b,c)\). 曲面上一点坐标为\((x,y,z)\).母线交\(xOy\)平面 \(\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z}{c}\). 代入方程

\[\boxed{F(x-\frac{a}{c}z,y-\frac{b}{c}z)=0} \]

特别的, \(F(x,y)=0\)表示母线平行z轴的柱面. \(F(x,z)=0\)同理。平面也是一个特殊的柱面，如\(z=1\)准线是\(xOz\)平面上\(z=1\),母线平行于y轴

锥面方程: 过空间定点O,沿不过O的曲线为准线移动的直线形成的曲面

设顶点为原点,准线为\(\begin{cases}F(x,y)=0\\z=h \end{cases}\),母线的方向向量为\((a,b,c)\)

\(x/x_0=z/h,y/y_0=z/h\).

\[\boxed{F(\frac{h}{z}x,\frac{h}{z}y)=0} \]

例: \(z=c,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\), 得椭圆锥面方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)

旋转曲面:

以\(z\)轴为旋转轴, \(yOz\)平面上的曲线\(F(y,z)=0\)为母线 \((x,y,z)\)和\((0,y_0,z_0)\)

有\(z=z_0,\sqrt{x^2+y^2}=|y_0|\). 所以有

\[\boxed{F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0} \]

例母线是\(z=y\cot \alpha\),绕Oz轴

\(z^2=(x^2+y^2)\cot^2\alpha\)就是圆锥面。圆锥的半顶角为\(\alpha\)

【重要!】例：母线是\(\frac{x-1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}\),绕Oz轴旋转得到的曲面

还是用定义,先化成参数方程\(\begin{cases}x=1\\y=t\\z=2t+1 \end{cases}\)

点M绕z轴旋转得到 \(\begin{cases}x^2+y^2=1+t^2\\z=2t+1 \end{cases}\)

消去\(t\)即可。这是一个单叶双曲面

二次曲面及其分类

对应二次型的秩和正惯性系数	方程	名称
r=3,p=3	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)	椭球面
r=3,p=2	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\)	单叶双曲面
r=3,p=2	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)	二次锥面
r=3,p=2	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\)	双叶双曲面
r=2,p=2	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z\)	椭圆抛物面
r=2,p=2	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)	椭圆柱面
r=2,p=1	\(z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\)	双曲抛物面(马鞍面)
r=2,p=1	\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)	双曲柱面
r=1	\(x^2=2py\)	抛物柱面

退化成平面、直线、点甚至空集的不考虑参考资料

空间曲线

表示为两曲面方程联立
参数方程

空间曲线在平面上的投影

对于空间曲线\(\begin{cases}f(x,y,z)=0\\g(x,y,z)=0 \end{cases}\),消去\(z\)得\(F(x,y)=0\). 这是一个母线垂直z轴的柱面方程,且曲线上的任意一点都在这个柱面上。那么曲线\(\begin{cases} F(x,y)=0\\z=0\end{cases}\)就是空间曲线在xOy平面上的投影

例: 曲线\(\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\z=\frac{1}{2} \end{cases}\)在各个平面上投影

注意曲线在\(z=1/2\)上，故在xOz和yOz上的投影都是线段。\(\begin{cases}y=0\\z=\frac{1}{2}\\|x|\leq \frac{\sqrt{3}}{4} \end{cases}\)