二重积分
二重积分
$$ \iint\limits_{\sigma} f(x,y) d\sigma $$ x型区域: $$ \int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy $$ 处理里面的积分时,把\(x\)看做常数,y是积分变量,最后的结果用x表示。
y型区域: $$ \int_{y_1}^{y_2}dy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx $$ 几何意义: 立体体积。积分区域\(\sigma\)是底面。
交换积分顺序及其应用
常见于处理\(e^{x^2}\)等原函数不初等的
\(\int_0^1te^{-t}dt=1-\frac{2}{e}\)
极坐标变换
$$ \int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)\color{blue}{rdr} $$ 如果点在区域内,\(\theta\)取0到\(2\pi\). \(r\)的下界取0
常见的区域边界:
- 圆心在坐标轴上\(x^2+y^2=2ax\).化成\(r=a\cos \theta\)，范围\(0\leq r \leq a\cos \theta\)
- 如果圆心在\((a,b)\), 令\(x=r\cos\theta+a,y=r\sin \theta+b\). \(d\sigma仍然=rd\theta dr\)
一般坐标变换
用到微分学中的Jacobi行列式(\(\color{red} 把x,y用u,v\))
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}\ \frac{\partial x}{\partial v}\ \frac{\partial y}{\partial u}\ \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} $$ $$ \iint\limits_{\sigma} f(x,y) d\sigma=\iint\limits_{\sigma'} f(x(u,v),y(u,v))|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudv $$ 对于极坐标变换\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\). Jacobi行列式值为\(r\)
对于广义极坐标变换\(x=ar\cos\theta,y=br\sin\theta\). Jacobi行列式值为\(abr\)
其他的变换可通过求导或隐函数求导得到
例:
\(x=\frac{u}{\sqrt{n}},y=\frac{v}{\sqrt{n}},J=\frac{1}{n}\) $$ a_n=\iint \frac{1}{n^2}e^{\frac{uv}{n}}dudv(u^2+v^2) $$ 所以\(a_n \sim \frac{1}{n^2}(n \to \infin)\),因为\(e^{uv/n}\)趋近于\(e^0\),剩下部分的积分是\(\iint(u^2+v^2)dudv=\frac{\pi}{4}\)
例: