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1.1多元函数的极限和导数

多元函数极限

多元函数的极限

\(\forall \epsilon,\exist \delta,\forall (x,y),\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\), \(|f(x,y)-A|<\epsilon\),则

\[\lim_{x\to a,y\to b}f(x,y)=A \]

​ 一元函数的各种性质可以推广到二元函数,如四则运算、夹逼定理等。

多元极限与累次极限

二次极限:把外面的看成参数,对里面的取极限。累次极限存在不能说明二元极限存在.因此求二元极限不能分开来求累次极限。常用方法是

  • 夹逼定理,利用绝对值不等式、基本不等式
  • 把关于xy的函数整体看成一个元
  • 三角换元, \(x=r\cos \theta,y=r\sin \theta, r\to 0\)

\(\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin \frac{1}{y}=\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}\lim_{y\to 0}(x+y)\sin \frac{1}{y}\) 不存在

\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin \frac{1}{y}=0\). 因为夹逼定理, \(0 \leq | (x+y)\sin\frac{1}{x}\sin \frac{1}{y}|\leq |x+y|\leq |x|+|y|\)

\[\lim_{(x,y)\to(\infin,\infin)}\frac{x^2y^2}{x^4+y^4} \leq \frac{x^2+y^2}{2x^2y^2}=0 \]
\[\lim_{(x,y)\to(\infin,\infin)}\frac{x^2y^2}{e^{x+y}} \leq \frac{(x+y)^2}{e^{x+y}}-\frac{2x}{e^x}\frac{y}{e^{y}}=0 \]

右边就可以看成一元函数的极限

极限不存在 - 设k值法凑上下次数相等。如\(\frac{xy}{x^2+y^2}\) - 两个重极限不相等,如\(\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y+x^2+y^2}\)

多元函数连续性

定义: \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}=f(x_0,y_0)\)

讨论\(u=\frac{x+y}{x^3+y^3}\) 连续性 分母\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\). 所以不连续点在\(x+y=0\)上. 设\(x=a,y=-a, \lim_{(x,y)\to(0,0)}u=\frac{1}{x^2-xy+y^2}=\frac{1}{3a^2}\)

  • (0,0)第二类间断点
  • (a,-a)(a≠0)可去间断点

微分

偏导数

\[ f'_x(a,b)=\frac{\partial f}{\partial x}|_{x=a,y=b}=\lim_{x \to a} \frac{f(x,b)-f(a,b)}{x} \]

跟一元函数一样,非端点处用求导法则,端点处用定义

二阶偏导数

用定义求之前,先要用求导法则得到一阶偏导的表达式

\[ \frac{\partial f^2}{\partial x\partial y}|_{x=a,y=b}=\lim_{y\to b}\frac{f'_x(a,y)-f'_x(a,b)}{y} \]

全微分

类比一元函数的微分\(dy=A\Delta x +o(\Delta x)(\Delta x \to 0)\)

二元函数的全微分\(dz=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to 0)\). A,B与\(\Delta x,\Delta y\)无关

\(f_x\left(x_0, y_0\right)\)\(f_y\left(x_0, y_0\right)\) 存在,且

\[ \lim _{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} \frac{\Delta z-f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x-f_y\left(x_0, y_0\right) \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} \tag{1} \]

存在且等于 0 。 则称函数在点 \(\left(x_0, y_0\right)\) 处可微分,记为

\[ \left.\mathrm{d} z\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=f_x\left(x_0, y_0\right) d x+f_y\left(x_0, y_0\right) d y \]

全微分的四则运算法则和一元函数相同

可微、可偏导、连续的关系

可微的充分条件: 偏导存在且在\((x_0,y_0)\)连续

证明:

\[ \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\=[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\\ =f'_x(x+\theta_1\Delta x,y+\Delta y)\color{blue}{\Delta x} \text{\ (中括号里的看成一元函数,运用中值定理)}\\+f'_y(x,y+\theta_2\Delta y)\Delta y \]

因为\(f'_x(x,y)\)\((x,y)\)连续, 所以\(\lim_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0}f'_x(x+\theta_1\Delta x,y+\Delta y)=f'_x(x,y)\). 记\(f'_x(x+\theta_1\Delta x,y+\Delta y)=f'_x(x,y)\Delta x+\epsilon_1\Delta x\)

所以\(\Delta z=f'_x(x,y)\Delta x+\epsilon_1\Delta x+f'_x(x,y)\Delta y+\epsilon_2\Delta y\) (全增量公式)

\(\lim_{}\frac{\epsilon_1\Delta x+\epsilon_2\Delta y}{\rho}=0\)

  • 可偏导不一定连续。\(z=\frac{xy}{x^2+y^2},(0,0)\)

  • 可偏导不一定可微

  • 可微一定连续可偏导,不一定偏导数连续 \(z=xy\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\).该函数可微: \(\lim_{\rho \to 0} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}<\frac{xy}{\sqrt{2xy}}=0\),但偏导数在 \((0,0)\) 不连续: 设 \(y=x\)

8cd7f815dacafa8271c9c8334cfc3137.png 验证多元函数在某一点不可微

  • 不连续
  • 某个偏导数不存在

  • 利用定义式\((1)\),极限不存在

\(\color{red}\boxed{\text{求出偏导后偏导数,要验证是否可微,再写出微分}}\)

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由A条件和连续性,\(f(0,0)=\lim\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}{(x^2+y^2)}=0\).

$$f'x(0,0)=\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim{x \to 0} \frac{f(x,0)}{x^2}\cdot x=0 $$ y同理

那么\(\lim_{\rho \to 0}\frac{\Delta z}{\rho}=\\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2}=0\)

复合函数的偏导数

\(z=f(g(x,y))\). \(\frac{\partial z}{\partial x}=f'(g_x(x,y))\)

\(z=\int_{u(x,y)}^{v(x,y)} h(t)dt. \frac{\partial z}{\partial x}=h(u)\frac{\partial u}{\partial x}-h(v)\frac{\partial v}{\partial x}\)

\(z=f(u,v),u,v\) 都是\(x,y\)的函数 $$ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}}\ $$ 画出函数关系图(无端联想pytorch)

\(y\)同理。当\(u,v\)是具体函数的时候,可以不用引入中间变量\(u,v\)的记号,而用\(f_1',f_2'\)分别代表\(\partial z/\partial u,\partial z/\partial v\). 同理 \(f_{11}'' ,f_{12}''\)代表

注意偏微分不是\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\)。我们写的是一个因变量\(z\),或者是写成\(f_1',f_2'\)这种形式,但实际上有两个变量,要分开处理。

复合函数的二阶偏导数:

(.jpg)

\(\frac{\partial}{\partial x}f_{1}'=f_{11}''\frac{\partial u}{\partial x}+f_{12}''\frac{\partial v}{\partial x}\). 注意\(f_{12}''=f_{21}''\)

例: \(z=x^3f(xy,\frac{y}{x})\)

复合函数的全微分

\(dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\). 不管中间有几层复合,都可以直接用对x,y的偏导表示。这是多元函数的一阶微分形式不变性。 求偏导的时候注意xyz是否有轮换对称性

隐函数的偏导数

存在性的证明一般不考。如果只是考求偏导数,本质的方法是列方程。

一个隐函数的偏导数

对于一个三元方程\(F(x,y,z)=0\),求\(\partial z/\partial x\)

\(z=z(x,y)\). 两边对\(x\)求偏导得 $$ F'_x\cdot 1+F'_y \cdot 0+F'_z \frac{\partial z}{\partial x}=0\ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z} $$ - 对于高阶偏导,应在方程1的基础上再两边求导。

  • 如果要同时求出\(x,y\)的偏导,可以两边取全微分

例: \(e^{xy}-2z+e^z=0\). 求\(\partial z/\partial x\)

直接两边对x求偏导, \(ye^{xy}-2\frac{\partial z}{\partial x}+e^z \frac{\partial z}{\partial x}=0\). 解得

隐函数组的偏导数

方程组\(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0 \end{cases}\) 确定两个隐函数\(u(x,y),v(x,y)\).

方程组两边对\(x\)求导得 $$ \begin{cases} F'_x+F'_u \frac{\partial u}{\partial x}+F'_v \frac{\partial v}{\partial x}=0\ G'_x+G'_u \frac{\partial u}{\partial x}+G'_v \frac{\partial v}{\partial x}=0 \end{cases} $$ 把两个偏导数看成变量,解这个方程组即可。二阶导同理。

如果要写出形式化的解析式(虽然做题中一般不用)。可以利用Cramer法则。系数矩阵的行列式称为Jacobi行列式。 $$ J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\left | \begin{matrix} F'_u F'_v \ G'_u G'_v\end{matrix}\right| $$

\[ \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\left | \begin{matrix} F'_x \ F'_v \\ G'_x \ G'_v\end{matrix}\right|}{J} \ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\left | \begin{matrix} F'_u \ F'_x \\ G'_u \ G'_x\end{matrix}\right|}{J} \]

关键是搞清楚谁是函数,谁是自变量,以及对谁求偏导

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