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级数

级数的定义

n=0an=limnSn\sum_{n=0}^{\infin}a_n=\lim_{n \to \infin}S_n

定义法判断收敛性

利用部分和SnS_n的极限

推论: n=0an\sum_{n=0}^{\infin}a_n收敛,则limnan=0\lim_{n \to \infin}a_n=0

limnan0\lim_{n \to \infin}a_n\neq0或不存在,则原级数发散

例: nln3n\sum \frac{n}{\ln^3n}发散。 注意重要极限limnlnnnp=0(p>)\lim_{n \to \infin} \frac{\ln n}{n^p}=0(p>)

柯西收敛准则

limnSn=s,rn=sSn=an+1+an+2+\lim_{n \to \infin} S_n=s,r_n=s-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+\dots,则

limnrn=0\lim_{n \to \infin}r_n=0. 用极限的语言写

柯西收敛准则: ε>0,N,n>N\forall \varepsilon>0,\exist N,\text{当}n>N时对一切自然数pp, 有un+1+un+2+un+p<ε|u_{n+1}+u_{n+2}+\dots u_{n+p}|<\varepsilon

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利用特殊的级数

几何级数:

n=0aqn收敛到a1q当且仅当q<1 \sum_{n=0}^{\infin} aq^n \text{收敛到}\frac{a}{1-q}\text{当且仅当}|q|<1 \\

p级数

n=11np收敛当且仅当p>1\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^p} \text{收敛当且仅当}p>1 \\

利用级数之间的运算

数乘收敛性不变

收敛±收敛=收敛

收敛+发散=发散

增加、减少、修改有限项收敛性不变(因为有限项的和是常数)

收敛级数的结合性:

  • 收敛级数加括号形成的级数仍然收敛(但发散不一定,如1 -1 1 -1)
  • 加括号形成的级数发散,则原级数发散 (如调和级数1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...(1/(2m+1)+1/2(m+1))>1+1/2+2/4+4/8+....1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...(1/(2^m+1)+1/2^(m+1))>1+1/2+2/4+4/8+....发散)

正项级数的收敛性

定义 n=0an(an>0)\sum_{n=0}^{\infin}a_n(a_n>0)

充要条件(部分和有界)

正项级数n=0an\sum_{n=0}^{\infin}a_n收敛当且仅当ana_n有界

比较判别法

既可以直接放缩 63a55d34d276ef185b79d97e2d8b2e67.png

1/lnn\sum 1/{\ln n}发散 也可以根据去掉有限项的性质,写成极限的形式:

limnunvn=l\lim _{n \to \infin} \frac{u_n}{v_n}=l

0<l<+0<l<+\infin(这里不需要和1比) 则unu_nvnv_n敛散性相同(相当于等价unlvnu_n \sim lv_n

l=0l=0, vnv_n 收敛则 unu_n 收敛

l=+l=+\infin, vnv_n发散则unu_n发散

用极限形式就不需要严格的大小关系, 多项式看最高次项, n!nnn! \sim n^n sin1/n1/n(n)\sin 1/n \sim 1/n (n\to \infin)

例:

(1cosan)a22n2\sum(1-\cos \frac{a}{n}) \sim \sum \frac{a^2}{2n^2} 收敛

ncos2(nπ/3)2n<n2n\sum \frac{n\cos^2(n\pi/3)}{2^n}<\sum \frac{n}{2^n} 收敛

1nsin1n<1n2\sum \frac{1}{n}\sin \frac{1}{n}<\frac{1}{n^2}

n1n2+11取对数lnnn2+\sum n^{\frac{1}{n^2+1}}-1 \overset{取对数}{\sim} \sum \frac{\ln n}{n^2+}

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比较判别法推出的二级结论 un2, vn2\sum u_n^2, \ \sum v_n^2收敛,则unvn,(un+vn)2,unn\sum |u_nv_n| ,\sum(u_n+v_n)^2 ,\sum \frac{u_n}{n}收敛

un\sum u_n收敛,则un2\sum u_n^2收敛,逆命题不成立。 第一个是因为unvn12(un2+vn2)|u_nv_n|\leq \frac{1}{2}(u_n^2+v_n^2)

第二个是因为N,n>N,unM<1,un2Mun\exist N,\forall n>N,u_n \leq M<1,u_n^2 \leq Mu_n

达朗贝尔比值法

limnun+1un=γ\lim_{n \to \infin} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\gamma

γ<1\gamma<1 收敛

γ>1\gamma>1发散

γ=1\gamma=1无法确定(比如p级数)

适用于有阶乘、n次方的。

例子:n3n\sum \frac{n}{3^n}, n!nn\sum \frac{n!}{n^n}

limn(n+1)!(n+1)n+1nnn!=limn(nn+1)n=limn1(1+1/n)n=1e\lim_{n \to \infin}\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!}=\lim_{n \to \infin}(\frac{n}{n+1})^n=\lim_{n \to \infin} \frac{1}{(1+1/n)^n}=\frac{1}{e},收敛

柯西根值法

limnunn=γ\lim_{n \to \infin} \sqrt[n]{u_{n}}=\gamma

γ<1\gamma<1 收敛

γ>1\gamma>1发散

γ=1\gamma=1无法确定

适用于能整体开根号的

积分判别法

如果f(n)f(n)(b,+)(b,+\infin)递减,连续,非负,则n=bf(n)b+f(x)dx\sum_{n=b}^{\infin} f(n)\text{和}\int_{b}^{+\infin}f(x)dx收敛性相同。

适用于和式。 常见结论:n=21x(lnx)p\sum_{n=2}^{\infin}\frac{1}{x(\ln x)^p}p>1p>1收敛,p1p \leq 1发散

还有题目是利用积分判别法化曲为直的思想来放缩

例: 11+2+n\sum \frac{1}{1+\sqrt{2}+\dots \sqrt{n}}

11+2+n=1nn1n(1n+2n+nn)<1nn01x=321nn\frac{1}{1+\sqrt{2}+\dots \sqrt{n}}=\frac{\frac{1}{n\sqrt{n}}}{\frac{1}{n}(\sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{2}{n}}+\dots \sqrt{\frac{n}{n}})}<\frac{1}{n\sqrt{n}\int_0^1 \sqrt{x}}=\frac{3}{2} \frac{1}{n\sqrt{n}} 由比较判别法,级数收敛

交错级数

n=b(1)n1un(un>0)\sum_{n=b}^{\infin} (-1)^{n-1} u_n(u_n>0).或者(1)n(-1)^n也可以

莱布尼兹定理*

三个条件 - un0u_n \geq 0 - unu_n递减 - limnun=0\color{red}{\lim_{n \to \infin}u_n=0},则unu_n收敛

比如(1)n1n\sum (-1)^n \frac{1}{n}收敛

注意不是所有交错级数都能用莱布尼兹判别法。

一般级数的收敛性

绝对收敛和条件收敛

an\sum |a_n|收敛,则an\sum a_n收敛,称为绝对收敛

an\sum |a_n|发散且an\sum a_n收敛,称为条件收敛

an\sum a_n发散

如果limnan>0\lim_{n \to \infin}|a_n|>0,则limnan\lim_{n \to \infin}a_n肯定不等于0,级数发散。etc. limnn1/n=elnn/n=1\lim_{n \to \infin} n^{1/n}=e^{\ln n/n}=1. 所以1n1/n\sum \frac{1}{n^{1/n}}发散

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绝对值的比值和根判别

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绝对收敛级数的性质

绝对收敛级数任意重排后的级数也绝对收敛

条件收敛级数重排之后可以收敛到任意实数

函数项级数

增加了一个参数x, 定义n=1un(x)\sum_{n=1}^{\infin}u_n(x)为函数项级数。代入不同的xx,得到不同的数项级数。所有让级数收敛的xx(收敛点)的集合称为收敛域。发散的称为发散域。

求收敛域: 把xx看成常数,然后按数项级数的判断方法分类讨论。

例: 求(lnx)n\sum (\ln x)^n的收敛域

利用绝对值比值判别法,得到lnx<1|\ln x|<1. 收敛域(1e,e)(\frac{1}{e},e)

幂级数

标准形式:anxn\sum a_nx^n

但很多时候题目给出的可能是an(ax+b)n\sum a_n (ax+b)^n,要换元。

Abel定理和Cauchy-Hadamard定理

Abel定理: 如果幂级数anxn\sum a_nx^nx=x0x=x_0时收敛,那么x<x0|x|<|x_0|时绝对收敛, x>x0|x|>|x_0|发散

Cauchy-Hadamard公式: anxn\sum a_nx^n,设 limnanan+1=R\lim_{n \to \infin} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R

0<R<+0<R<+\infin(R,R)(-R,R)内绝对收敛

R=0R=0,则 x=0x=0收敛

R=+R=+\infin, 在R\mathbb{R}上收敛

本质是比值判别法,注意端点处需要检验

求幂级数的收敛域

  1. 先求收敛区间
  2. 如果是标准形式,根据Cauchy-Hadamard公式求解
  3. 如果是an(kx+b)n\sum a_n(kx+b)^n,换元y=kx+by=kx+b化成标准形式求出RyR_y ,最后要换回x,收敛半径Rx=Ryk,R_x=\frac{R_y}{k},
  4. xx看成常数,用数项级数的方法求解(适用于缺项的,如n=0x2n+1n\sum_{n=0}^{\infin} \frac{x^{2n+1}}{n})
  5. 代入端点进行讨论

注意换元时收敛区间、半径会变!!!

幂级数的性质

分析性质:

  • S(x)S(x)在收敛域上连续
  • (R,R)(-R,R)上任意阶逐项可积、可微,且收敛半径不变
  • 推论:a0=S(0),an=S(n)(0)n!a_0=S(0),a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n!} (保证幂级数唯一性)

代数性质:

  • 两个幂级数相加减,收敛半径为R=min{Ra,Rb}R=\min\{R_a,R_b\}

求幂级数和函数

  1. 确定收敛域

  2. 确定和函数

    • 线性运算、换元法:

    • 若逐项求导后的结果可以看出和函数,用S(x)=S(0)+0xS(x)dxS(x)=S(0)+\int_0^x S'(x)dx. 注意这里要用到S(0)S(0)是为了确定S(x)S'(x)不定积分之后的CC. 比如有xnn\frac{x^n}{n}

    • 若逐项积分后的结果可以看出和函数,用S(x)=(0xS(x)dx)S(x)=(\int_0^x S(x)dx)' 比如有nxn1nx^{n-1}
  3. 端点处要讨论: 端点处的值n=0anRn=limxRS(x)\sum_{n=0}^\infin a_n R^n=\lim_{x \to R^-} S(x). 如果S(x)S(x)x=Rx=R连续,才可以直接用S(R)S(R)

注意求和符号的下界

例: 求n=1xn1n\sum_{n=1}^\infin \frac{x^{n-1}}{n}

收敛半径R=1R=1,收敛域[1,1)[-1,1)

n=1xn1n=1xn=1xnn(x0)\sum_{n=1}^\infin \frac{x^{n-1}}{n}=\frac{1}{x} \sum_{n=1}^\infin \frac{x^n}{n}(x \neq 0)

S(x)=n=1xnn,S(0)=0S(x)=\sum_{n=1}^\infin \frac{x^n}{n},S(0)=0

S(x)=n=1xn1=11xS'(x)=\sum_{n=1}^\infin x^{n-1}=\frac{1}{1-x}

S(x)=S(0)ln(1x)0x=ln(1x)S(x)=S(0)-\ln(1-x)|^x_0=-\ln(1-x)

x=0x=0n=10n1/n=1\sum_{n=1}^\infin 0^{n-1}/n=1.注意0次幂

因此n=1xn1n={ln(1x)x,[1,0)(0,1)1,x=0\sum_{n=1}^\infin \frac{x^{n-1}}{n}=\begin{cases} \frac{-\ln(1-x)}{x},[-1,0)\cup(0,1) \\ 1,x=0\end{cases}

例: 求n=1xnn+1\sum_{n=1}^\infin \frac{x^n}{n+1}

n=1xnn+1=1xn=1xn+1n+1=1xn=2xnn=1x(ln(1x)x)\sum_{n=1}^\infin \frac{x^n}{n+1}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^\infin \frac{x^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{x}\sum_{n=\mathbf{2}}^\infin \frac{x^n}{n}=\frac{1}{x}(-\ln(1-x)-x)

x=0时显然等于0

例: 求n=1(1)n12nx2n1(2n1)!\sum_{n=1}^\infin(-1)^{n-1} \frac{2nx^{2n-1}}{(2n-1)!}

易得收敛域为R\mathbb{R}

注意到2n2n2n12n-1差1,考虑积分。 $$\int_0^x s(x)dx=\sum_{n=1}^\infin (-1){n-1}\frac{x{2n}}{(2n-1)!}=x\sum_{n=1}^{\infin} (-1){n-1}\frac{x{2n-1}}{(2n-1)!}=x\sin x $$

求导得到s(x)=xcosx+sinx(xR)s(x)=x\cos x+\sin x(x \in R)

例: 求n=0a(a1)(an+1)n!xn\sum_{n=0}^\infin \frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{n!}x^n

由Cauchy-Hadamard公式,收敛半径R=limnn+1an=1R=\lim_{n \to \infin}|\frac{n+1}{a-n}|=1

求导有s(x)=n=1a(a1)(an+1)(n1)!xn1=a+n=1a(a1)(an)n!xns'(x)=\sum_{n=1}^{\infin} \frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{(n-1)!}x^{n-1}=a+\sum_{n=1}^{\infin}\frac{a(a-1)\dots(a-n)}{n!}x^n

注意到xs(x)=n=1a(a1)(an+1)(n1)!xnxs'(x)=\sum_{n=1}^{\infin} \frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{(n-1)!}x^{n}

那么通分之后xs(x)+s(x)=n=1a2(a1)(an+1)n!xn=as(x)xs'(x)+s'(x)=\sum_{n=1}^{\infin} \frac{a^2(a-1)\dots(a-n+1)}{n!}x^{n}=as(x)

解这个微分方程得s(x)=(1+x)a(1<x<1)s(x)=(1+x)^a (-1<x<1)

例: 求n=2xnn(n+1)\sum_{n=2}^\infin \frac{x^n}{n(n+1)} 利用和函数可以求一些数项级数的和。比如n(n+1)2n\sum \frac{n(n+1)}{2^n}就可以看成s(12),s(x)=n(n+1)xns(\frac{1}{2}),s(x)=\sum n(n+1)x^n

适当的拆分: n2n+1n^2-n+1拆成n(n1)n(n-1)(构造二阶导数)+1

Taylor级数

之前我们只知道展开到第n阶的情况。现在我们想知道xx满足什么条件时可以无限展开下去。

函数展开成幂级数

定义法

  1. 先求f(n)(x0)f^{(n)}(x_0),并写出级数表达式
  2. 确定收敛区间xx0<R|x-x_0|<R
  3. 证明xx0<R|x-x_0|<RlimnRn(x)=0\lim_{n \to \infin}R_n(x)=0

例:f(x)=exf(x)=e^x展开为xx的幂级数

R=limnn!(n+1)!=+R=\lim_{n \to \infin}\frac{n!}{(n+1)!}=+\infin

拉格朗日余项Rn(x)=eξxn+1n!(ξ<x)R_n(x)=\frac{e^{\xi}x^{n+1}}{n!}(|\xi|<|x|)

x(,+)\forall x\in(-\infin,+\infin), 则limnRn(x)limnexxn+1(n+1)!=exlimnxn+1(n+1)!\lim_{n \to \infin}|R_n(x)| \leq \lim_{n \to \infin}|\frac{e^{|x|}|x|^{n+1}}{(n+1)!}|=e^{|x|}\cdot \lim_{n \to \infin}|\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}|. 又因为级数绝对收敛,根据收敛的必要条件,右边的极限一定为0.

由此可见,通过定义证是很难的。因为要证明余项极限为0

利用幂级数的运算

跟求和函数一样

  • 线性运算
  • 换元,注意是展开成xx0x-x_0的幂级数还是其他式子
  • 求导、积分.比如求ln(1x),ln(1+x),arctanx,arcsinx\ln(1-x),\ln(1+x),\arctan x,\arcsin x.

例: f(x)=xx2x3f(x)=\frac{x}{x^2-x-3} 展开为xx的幂级数

f(x)=13(1x+1+2x2)f(x)=\frac{1}{3} (\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-2})

2x2=11x2=n=0(x2)n(2<x<2)\frac{2}{x-2}=-\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=-\sum_{n=0}^{\infin}(\frac{x}{2})^n(-2<x<2)

所以f(x)=13((1)n12n)xnf(x)=\frac{1}{3}\sum ((-1)^n-\frac{1}{2^n})x^n

f(x)=xarctanxln1+x2=xarctanx12ln(1+x2)f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^2}=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2).

法一:利用初等函数的泰勒展开

法二:注意到这是arctanx\arctan x的积分 5bc8f637a9e26622929a4e4bd4c4a775.png

要记住的Taylor级数

\[\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-x}}=1+\sum_{n=1}^{\infin} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n} [-1,1) $$ $$\boxed{\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum_{n=1}^{\infin} \frac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n,\color{red}{-1<x\leq 1}} $$ $$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1},\color{red}{-1\leq x \leq 1} \]
ln(1+x)=n=1(1)n1nxn,x(1,1]\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infin \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n ,\color{red}{x \in (-1,1]}
(1+x)a=n=0a(a1)(an+1)n!xn,x{(1,1),a1(1,1],1<a<0[1,1],a>0(1+x)^a=\sum_{n=0}^\infin \frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{n!}x^n, x \in \begin{cases} (-1,1),a \leq -1\\ (-1,1],-1<a<0 \\ [-1,1],a>0 \end{cases}

Fourier级数

感觉本质利用了线代里正交基的一些性质。假设我们要把α\alpha分解成k1α1+k2α2+knαnk_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots k_n\alpha_n.其中α1αn\alpha_1\dots \alpha_n是一组基,那么求k1knk_1\dots k_n需要解一个线性方程组,很复杂。 但如果是一组正交基,两边内积αi\alpha_i(α,αi)=ki(αi,αi)(\alpha,\alpha_i)=k_i(\alpha_i,\alpha_i). 求系数就很快了

那么对于内积(f(x),g(x))=llf(x)g(x)dx(f(x),g(x))=\int_{-l}^l f(x)g(x)dx. 1,cosπxl,cos2πxlcosnπxl,sinπxlsinnπxl1,\cos \frac{\pi x}{l},\cos \frac{2\pi x}{l}\dots \cos \frac{n\pi x}{l},\sin \frac{\pi x}{l}\,\dots \sin\frac{n\pi x}{l}.是一组正交基。代入上式结合内积定义就得到傅里叶级数的表达式

傅里叶级数的定义

三角函数的函数项级数

f(x)f(x)是周期函数,T=2lT=2l

S(x)=a02+n=0(ancosnπxl+bnsinnπxl)S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infin}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})

称为f(x)f(x)的傅里叶级数

其中 a0=1lllf(x)dxa_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)dx an=1lllf(x)cosnπxldx,bn=1lllf(x)sinnπxldx\boxed{a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx, b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx}

推论1: 当f(x)f(x)为奇函数的时候,an=0a_n=0. f(x)f(x)为偶函数的时候,bn=0b_n=0

Dirichlet定理: 若f(x)f(x)[l,l][-l,l]连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则f(x)f(x)的傅里叶级数收敛

S(x)=f(x0)+f(x+0)2S(x)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} 其中f(x0),f(x+0)f(x-0),f(x+0)表示在xx点处的左右极限 当x=±lx=\pm l时,S(x)=f(l+0)+f(l0)2S(x)=\frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2} (由周期2l2l显然)

因此,写出级数后,还要讨论f(x)f(x)的连续性,计算间断点处的极限,不能直接写等于f(x)f(x) a02+n=0(ancosnπxl+bnsinnπxl)={f(x),x属于连续区间 f(x0)+f(x+0)2,x是间断点点\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infin}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})=\begin{cases} f(x), x \text{属于连续区间}\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},x是间断点点\end{cases}

易错的计算细节和技巧

  • 记得除以ll
  • sin\cos的端点值。 cosnπ=(1)n\cos n\pi=(-1)^n
  • sin\cos的分部积分注意正负号,1-1
  • 常见积分结果
    • 0πxcosnxdx=(1)n1n2\boxed{\int_0^{\pi}x\cos nx dx=\frac{(-1)^n-1}{n^2}}
    • 0πx2cosnxdx=2π(1)nn2\boxed{\int_0^{\pi}x^2\cos nx dx=\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}}
    • 0πxsinnxdx=(1)n+1πn\boxed{\int_0^{\pi}x\sin nx dx=\frac{(-1)^{n+1}\pi}{n}}
    • 0πx2sinnxdx=(1)n+1n+2(1(1)n)n3\boxed{\int_0^{\pi}x^2\sin nx dx=\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}}
    • exe^x有关的直接待定系数

一般周期函数在[a,b]的傅里叶展开

l=ba2l=\frac{b-a}{2},积分区间换成[a,b][a,b]

例: f(x)=x[x]f(x)=x-[x] 38549ca36eb85c2b69b9325f18364989.png

非周期函数在[0,l]的傅里叶展开

我们可以先把定义域延拓到[l,0][-l,0], 令函数周期为2l2l, 然后在 [l,l][-l,l] 上展开。根据推论1:

- 令f(x)=f(x)(0<x<l)f(-x)=-f(x)(0<x<l) 奇延拓(得到正弦级数) an=0a_n=0,

\[\boxed{b_n=\frac{2}{l}\int_{0}^lf(x)\sin \frac{n\pi x}{l}} $$ - (乘2是因为积分符号内是偶函数) - 令$f(-x)=f(x)(0<x<l)$偶延拓(得到**余弦级数**) $$\boxed{a_n=\frac{2}{l}\int_{0}^lf(x)\cos \frac{n\pi x}{l},b_n=0} \]

傅里叶级数的应用

帕塞瓦尔等式: 若f(x)f(x)[l,l][-l,l]上连续

1lllf2(x)dx=a022+n=1(an2+bn2)\frac{1}{l}\int_{-l}^l f^2(x)dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infin(a_n^2+b_n^2)

求一些级数的和(幂级数无法做到)

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傅里叶级数的复数形式

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