2.3第一类曲线曲面积分
第一类曲线积分
\(\int_L f(x,y,z)ds\). 关键是表示ds
已知曲线参数方程
\(x=x(t),y=y(t),z=z(t)\)
\[
\boxed{ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt} \\
\int_L f(x,y,z)ds=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt
\]
注意参数上下限
习题9-4 1(3) \((x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)\) \(\int_C |y|ds\)
极坐标\(r^2=a^2\cos2\theta\). \(ds=\sqrt{r^2+r'^2}d\theta\)
已知曲线是平面曲线
\[
\boxed{ds=\sqrt{1+{y'_x}^2}}\\
\boxed{ds=\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}}
\]
隐函数型(如两曲线联立)
用隐函数求导法
第一类曲面积分
- 投影(投影到平面，找曲面的微元\(dS\)和\(dxdy,dydz,dxdz\)等的面积关系(夹角\(\cos \gamma\)，转化为平面上的积分)
- 代换（因为有曲面的限制条件，x,y,z中可以去掉一个,最终只剩两个变量变成二重积分)
已知曲面方程z=z(x,y)
\[
\boxed{dS=\sqrt{1+{z'_x}^2+{z'_y}^2}dxdy}
\]
投影到哪个平面可以根据计算方便来,如dxdz,dydz都行.
习题9-4 3 (1)(2) 作业本4.20
已知曲面方程(隐函数)
隐函数求导
eg.\(x^2+y^2+z^2=a^2\)
\(z'_x=-\frac{x}{z},z'_y=-\frac{y}{z}\)
计算投影\(dS=\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{z}dxdy\).
代换消掉z,\(dS=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy\)
eg \(x^2+y^2=z^2, z'_x=x/z\)
\(dS=\sqrt{2}dxdy\)
配套的积分技巧
（1)第一类曲线积分中常常见到\(\sqrt{a+bt}\). 令\(u=\sqrt{a+bt},t=\frac{u^2-a}{b},dt=\frac{2udu}{b}\). \(\color{red}{换完之后注意上下界会变},如t\in[0,1],u\in[\sqrt{a},\sqrt{a+b}]\)
(2) 平方项的处理
- 凑平方的微分 \(\frac{xdx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=d(\sqrt{x^2\pm a^2})\)
- 有时也可以尝试三角换元如\(\sqrt{a^2-x^2} \sqrt{a^2+x^2}\)
计算：注意方程里的根号 注意多项式积分1/n+1
习题9-4 4.p;