Skip to content

1.2多元函数的极值

注意复习曲线的切线和法平面,极值的判定定理

多元函数的Taylor展开

目的:把\(f(x_0+h,y_0+k)\)表示为\(h ,k\)的多项式.

\[ f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial x})f(x_0,y_0)\\+\frac{1}{2!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial x})^2f(x_0,y_0)+\dots +\frac{1}{n!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial x})^nf(x_0,y_0)\\+\frac{1}{(n+1)!}(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y})^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \]

注意这里偏导算符的意义:

\[(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial x})f(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)h+f'_y(x_0,y_0)k\]
\[(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial x})^2f(x_0,y_0)=f''_{xx}(x_0,y_0)h^2+2f''_{xy}(x_0,y_0)hk+f''_{yy}f(x_0,y_0)k^2\]

\(n=0\),得到拉格朗日中值定理 令\(x=x_0+h,y=y_0+h\), 把h,k换成\((x-x_0),(y-y_0)\)

\(f(x_0+hx,y_0+hy)\)

计算寄巧 - 前n项是多项式,余项是n+1阶导函数 - 系数是偏导×二项式系数。如果所有n阶偏导都相等,就可以写成\(\frac{1}{n!}k(h+k)^n\) - 记得除以\(\frac{1}{n!}\)

29229c20f31fc4c46cd4b7046a58d832.png

多元函数的极值

极值点的定义

定义: 在某邻域内\(f(P)\geq f(P_0)(\leq)\)

驻点(稳定点): \(f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0\)

极值点一定包含在稳定点或偏导数不存在的点中

极值的必要条件: 若在\((x_0,y_0)\)偏导数存在,且在\((x_0,y_0)\)有极值,那么\(f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0\) (对应一元函数的费马定理)

  • 驻点不一定是极值点. 如\(z=xy\)\((0,0)\). (邻域内有>0和<0的)
  • 极值点不一定可导. 如\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)

极值的充分条件

若在\((x_0,y_0)\)连续的二阶偏导数,且\(f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0\) (驻点). 令\(A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)\)

  • \(AC-B^2>0\) 是极值点,且\(A>0\)极小值点,\(A<0\)极大值
  • \(AC-B^2<0\) 不是极值点
  • \(AC-B^2=0\) 无法确定

证明:

做二阶Taylor展开,有

\[ f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\frac{1}{2}(A^2h^2+2ABhk+C^2k^2)+o(\rho^2) \]

判断括号内的正负,这是一个二次型,对应二次型矩阵为\(\begin{pmatrix} A \ B \\ B \ C\end{pmatrix}\). 根据二次型正定性的判定,计算主子式:

  • \(\Delta_1=A>0,\Delta_2=AC-B^2>0\),二次型正定
  • \((-1)\Delta_1=-A>0,\Delta_2=AC-B^2>0\),二次型负定

推广到n元函数,我们有 38556aea6b5b03b74e8f7bb52c65c2aa.png

多元函数的最值

  1. 先求一阶导,得到怀疑点(驻点or偏导数不存在的点) (这时候没必要区分极大极小,不需要求二阶导)

  2. 再看边界上的点的函数值(换成条件极值)

  3. 取最值

9475725273cc71f26d1352add09d7b6d.png (No.104)

最大值是4

条件极值

拉格朗日函数 $$L=f(x,y,z)-\lambda \varphi(x,y,z) $$

难点在解方程如何消元

场的方向导数和梯度

数量场: 函数\(u(x,y,z)\)

矢量场: 矢量的分量是位置坐标\(x,y,z\)的函数

场的方向导数*

是一个标量\(\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}=\lim_{\rho \to 0} \frac{u(P)-u(P_0)}{\rho}\)

定理: 若u在点P0处可微,设l的方向向量为\((\cos \alpha,\cos\beta,\cos \gamma)\). 则方向导数 $$ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma $$

可微->方向导数存在.反之不成立

例: 求\(z=(x^3+y^3)^\frac{1}{3}\)在(0,0)处沿任意方向的方向导数

设方向向量\(\vec{l}=(\cos \alpha,\cos \beta),P=(\rho \cos \alpha,\rho \cos \beta)\)

\(\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}=\lim_{\rho \to 0}\frac{\sqrt[3]{\rho^3\cos^3\alpha+\rho^3\cos^3}\beta}{\rho}=\sqrt[3]{\cos^3\alpha+\cos^3\beta}\)

但是\(\lim_{\rho \to 0}\frac{\Delta z-0\Delta x-0\Delta y}{\rho}\) 不存在(令\(\Delta y=k\Delta x\)),所以不可微

梯度

是一个矢量。方向沿着函数方向导数最大的方向 $$ \mathbf{grad}u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}) $$ 另外也可以利用Nabla算子\(\nabla=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\). 写成

\(\nabla u=\mathbf{grad} u\)

曲线的切线和法平面*

切向量\(\vec{v}\)

曲线参数形式: \(x=x(t),y=y(t),z=z(t)\),得 $$ \vec{v}=(x'(t),y'(t),z'(t)) $$ 一般式\(F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0\). 用隐函数组求偏导的方式得到\(\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}\) $$ \vec{v}=(1,\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}) $$ 有了切向量和曲线上一点坐标,就可以切线和法平面

曲面的切平面和法线

法向量\(\vec{n}\)

对于曲面方程\(F(x,y,z)=0\). 对\(x,y,z\)分别求偏导 $$ \boxed{\vec{n}=(F'_x,F'_y,F'_z)} $$ 特殊情况:

  • \(z=f(x,y)\). 移项得\(f(x,y)-z=0\). \(\boxed{\vec{n}=(f'_x,f'_y,\color{blue}{-1})}\)

  • \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0\). \(\boxed{\vec{n}=(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2})}\) 切平面方程\(\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}+\frac{z_0z}{c^2}=0\)

求平行于某平面的切平面

  1. 求出\(\vec{n}\)
  2. 代入原方程解出\((x_0,y_0,z_0)\). 一般有两个解

021909f7f0ff00b27d291b706c4f857c.png

A错(不一定可微) BC都对

Comments