2.2三重积分

基本方法

投影法

外面是二重积分，里面是定积分

平面截割法

外面是定积分，里面是二重积分

如

积分函数只是与一个变量有关，或利用对称性拆
截面积好计算，如\(S=\pi ab\). 椭球. 这样就可以转换成密度(常量)乘截面积

例：\(\iiint_{V}(x^2+y^2+z^2)dV,V:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq 1\)

\[ \iiint_{V}z^2dV=\int_{-c}^cdz\iint_{S} z^2 dS, S:x^2/a^2+y^2/b^2 \leq (1-\frac{z^2}{c^2}) \]

椭圆面积\(\pi ab(1-\frac{z^2}{c^2})\),所以原式=

\(\pi ab\int_{-c}^c z^2(1-\frac{z^2}{c^2})dz=\frac{4}{15}\pi abcc^2\)

同理对\(x^2,y^2\)积分,最终答案是\(\frac{4}{15}\pi abc(a^2+b^2+c^2)\)

换元

三阶Jacobi行列式

柱坐标

\(J=r\)

注意

\(x^2+y^2=r^2\)代换

球面坐标

\(J=r^2\sin \varphi\)

\(x=r\sin \varphi\cos \theta,y=r\sin \varphi\sin \theta,z=r\cos \varphi\)

适用情况(对应球面坐标系中的坐标曲面:

球面 \(r\)好确定
锥面 \(\varphi\)好确定

例：计算曲面围成体积 \(x^2+y^2+z^2=a^2,x^2+y^2+z^2=b^2,x^2+y^2=z^2(z \geq 0,0<a<b)\)

\(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4},a \leq r \leq b\)

\[ V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\varphi \int_a^b\rho^2\sin \varphi d \rho\\=\frac{\pi}{3}(2-\sqrt{2})(b^2-a^2) \]

对于\(z=a,z=b,x^2+y^2=z^2\)围成区域，也可这样处理。但范围变成\(\frac{a}{\cos \varphi}\leq r \leq \frac{b}{\cos \varphi}\)

例: 习题9-5 11

例：第九章补充题 7(2)

\(x^2+y^2+(z-1)^2 \leq 1\)被\(y=0,z=1\)截的部分

\(0 \leq \theta\leq 2\pi, 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}, \frac{1}{\cos \varphi} \leq \rho \leq 2\cos\varphi\)

对称性的应用

关于x,y,z平面的对称性
轮换对称性同理zx是关于x的奇函数，所以后面的都为零又根据\(x^2,y^2\)轮换对称性,最后积分化为 \(\iiint(2x^2+z^2)dxdydz\)

物理应用

注意看清是对曲面还是立体

引力

\[ \boxed{F_x=Gm\int \frac{\mu(P)(x-x_0)}{r^3}d\omega} \]

转动惯量(Oz轴)

\[ I=\int \mu(P)(x^2+y^2)d\omega \]