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2.2三重积分

基本方法

投影法

外面是二重积分，里面是定积分

平面截割法

外面是定积分，里面是二重积分

如

  • 积分函数只是与一个变量有关，或利用对称性拆
  • 截面积好计算，如S=πabS=\pi ab. 椭球. 这样就可以转换成密度(常量)乘截面积

例：∭V(x2+y2+z2)dV,V:x2a2+y2b2+z2c2≤1\iiint_{V}(x^2+y^2+z^2)dV,V:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq 1

∭Vz2dV=∫−ccdz∬Sz2dS,S:x2/a2+y2/b2≤(1−z2c2) \iiint_{V}z^2dV=\int_{-c}^cdz\iint_{S} z^2 dS, S:x^2/a^2+y^2/b^2 \leq (1-\frac{z^2}{c^2})

椭圆面积πab(1−z2c2)\pi ab(1-\frac{z^2}{c^2}),所以原式=

πab∫−ccz2(1−z2c2)dz=415πabcc2\pi ab\int_{-c}^c z^2(1-\frac{z^2}{c^2})dz=\frac{4}{15}\pi abcc^2

同理对x2,y2x^2,y^2积分,最终答案是415πabc(a2+b2+c2)\frac{4}{15}\pi abc(a^2+b^2+c^2)

换元

三阶Jacobi行列式

柱坐标

J=rJ=r

注意

  • x2+y2=r2x^2+y^2=r^2代换

球面坐标

J=r2sin⁡φJ=r^2\sin \varphi

x=rsin⁡φcos⁡θ,y=rsin⁡φsin⁡θ,z=rcos⁡φx=r\sin \varphi\cos \theta,y=r\sin \varphi\sin \theta,z=r\cos \varphi

适用情况(对应球面坐标系中的坐标曲面:

  • 球面 rr好确定
  • 锥面 φ\varphi好确定

例：计算曲面围成体积 x2+y2+z2=a2,x2+y2+z2=b2,x2+y2=z2(z≥0,0<a<b)x^2+y^2+z^2=a^2,x^2+y^2+z^2=b^2,x^2+y^2=z^2(z \geq 0,0<a<b)

0≤φ≤π4,a≤r≤b0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4},a \leq r \leq b

V=∫02πdθ∫0π4dφ∫abρ2sin⁡φdρ=π3(2−2)(b2−a2) V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\varphi \int_a^b\rho^2\sin \varphi d \rho\\=\frac{\pi}{3}(2-\sqrt{2})(b^2-a^2)

对于z=a,z=b,x2+y2=z2z=a,z=b,x^2+y^2=z^2围成区域，也可这样处理。但范围变成acos⁡φ≤r≤bcos⁡φ\frac{a}{\cos \varphi}\leq r \leq \frac{b}{\cos \varphi}

例: 习题9-5 11

例：第九章补充题 7(2)

x2+y2+(z−1)2≤1x^2+y^2+(z-1)^2 \leq 1被y=0,z=1y=0,z=1截的部分

0≤θ≤2π,0≤φ≤π4,1cos⁡φ≤ρ≤2cos⁡φ0 \leq \theta\leq 2\pi, 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}, \frac{1}{\cos \varphi} \leq \rho \leq 2\cos\varphi

对称性的应用

  • 关于x,y,z平面的对称性
  • 轮换对称性 8c89bb7fe5edf18f5d55988b862f22f7.png 同理zx是关于x的奇函数，所以后面的都为零 又根据x2,y2x^2,y^2轮换对称性,最后积分化为 ∭(2x2+z2)dxdydz\iiint(2x^2+z^2)dxdydz

物理应用

注意看清是对曲面还是立体

引力

Fx=Gm∫μ(P)(x−x0)r3dω \boxed{F_x=Gm\int \frac{\mu(P)(x-x_0)}{r^3}d\omega}

转动惯量(Oz轴)

I=∫μ(P)(x2+y2)dω I=\int \mu(P)(x^2+y^2)d\omega

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