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2.4第二类曲线积分

按定义计算

格林公式

\[ \oint_L Pdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \]

简单应用

曲线积分变成二重积分

注意格林公式的使用条件: 有界闭区域、P,Q有一阶连续偏导数

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注意只有\((0,0) \notin D\)时才能直接用格林公式，得到\(\oint_L=0\) 当\((0,0) \in D\) 6e921f815a9fb7a152f4dcdb04816586.png

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简化二重积分

引入辅助曲线(直线),把曲线变成封闭的

  • 形如xdy的,在平行x轴/y轴的直线都好积分。但是要注意方向

9fa55886bee78b86b53b9a7a5e43b4b2.png 沿AB的有\(dy=0\).沿BO的有x=0

用格林公式求面积

\(Q=x,P=-y\).

\(\boxed{\iint_D dxdy=\frac{1}{2}\oint xdy-ydx}\)

路径无关性

四个等价条件

\(D\)是单连通开区域

\(\int_L Pdx+Qdy\)与路径无关

\(\oint_C Pdx+Qdy=0\)

在D内\(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\)

在D内,存在\(u(x,y)\)使得\(du=Pdx+Qdy\)

路径无关的积分求解

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