Skip to content

2.7场论

哈密顿算子=(x,y,z)\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) 算子和变量不能交换顺序

梯度: 数量->矢量 散度: 矢量->数量 旋度: 矢量->矢量

梯度

对于数量场uu, grad u=u=(ux,uy,uz)\textbf{grad}\ u=\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})

  • 矢量,指向变化最快的方向,模=方向导数最大值

散度、通量

对于矢量场A\vec{A},div A=A\textrm{div}\ \vec{A}=\nabla \cdot \vec{A}是一个标量

通量AdS\iint \vec{A}\cdot d\vec{S}

高斯定理

AdS=AdV \oiint \vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint \nabla \cdot \vec{A} dV

旋度、环量

旋度 rot A=×A\mathbf{rot}\ \vec{A}=\nabla \times \vec{A}

环量Adl\oint \vec{A}d \vec{l}

斯托克斯公式

Adl=(×A)dS \oint \vec{A}\cdot d\vec{l}=\iint (\nabla \times \vec{A})\cdot d\vec{S}

8e5854eefcf72caae7f4ba5b0ac21c49.png

ndS\vec{n}dS其实就是dSd\vec{S}. 注意因为有上下两个球面,所以是2dxdy2dxdy

运算性质

(×A)=0\nabla \cdot(\nabla \times \vec{A})=0 证明: 发现是二阶混合偏导 ×(u)=0\nabla \times(\nabla u)=\vec{0}.

A\vec{A}是一个势量场(势函数是uu)等价于×A=0\nabla \times \vec{A}=0

Comments