2.7场论
哈密顿算子\(\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\) 算子和变量不能交换顺序
梯度: 数量->矢量 散度: 矢量->数量 旋度: 矢量->矢量
梯度
对于数量场\(u\), \(\textbf{grad}\ u=\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})\)
- 矢量,指向变化最快的方向,模=方向导数最大值
散度、通量
对于矢量场\(\vec{A}\),\(\textrm{div}\ \vec{A}=\nabla \cdot \vec{A}\)是一个标量
通量\(\iint \vec{A}\cdot d\vec{S}\)
高斯定理
\[
\oiint \vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint \nabla \cdot \vec{A} dV
\]
旋度、环量
旋度 \(\mathbf{rot}\ \vec{A}=\nabla \times \vec{A}\)
环量\(\oint \vec{A}d \vec{l}\)
斯托克斯公式
\[
\oint \vec{A}\cdot d\vec{l}=\iint (\nabla \times \vec{A})\cdot d\vec{S}
\]
\(\vec{n}dS\)其实就是\(d\vec{S}\). 注意因为有上下两个球面,所以是\(2dxdy\)
运算性质
\(\nabla \cdot(\nabla \times \vec{A})=0\) 证明: 发现是二阶混合偏导 \(\nabla \times(\nabla u)=\vec{0}\).
\(\vec{A}\)是一个势量场(势函数是\(u\))等价于\(\nabla \times \vec{A}=0\)