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2.7场论

哈密顿算子∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) 算子和变量不能交换顺序

梯度: 数量->矢量 散度: 矢量->数量 旋度: 矢量->矢量

梯度

对于数量场uu, grad u=∇u=(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z)\textbf{grad}\ u=\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})

  • 矢量,指向变化最快的方向,模=方向导数最大值

散度、通量

对于矢量场A⃗\vec{A},div A⃗=∇⋅A⃗\textrm{div}\ \vec{A}=\nabla \cdot \vec{A}是一个标量

通量∬A⃗⋅dS⃗\iint \vec{A}\cdot d\vec{S}

高斯定理

∯A⃗⋅dS⃗=∭∇⋅A⃗dV \oiint \vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint \nabla \cdot \vec{A} dV

旋度、环量

旋度 rot A⃗=∇×A⃗\mathbf{rot}\ \vec{A}=\nabla \times \vec{A}

环量∮A⃗dl⃗\oint \vec{A}d \vec{l}

斯托克斯公式

∮A⃗⋅dl⃗=∬(∇×A⃗)⋅dS⃗ \oint \vec{A}\cdot d\vec{l}=\iint (\nabla \times \vec{A})\cdot d\vec{S}

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n⃗dS\vec{n}dS其实就是dS⃗d\vec{S}. 注意因为有上下两个球面,所以是2dxdy2dxdy

运算性质

∇⋅(∇×A⃗)=0\nabla \cdot(\nabla \times \vec{A})=0 证明: 发现是二阶混合偏导 ∇×(∇u)=0⃗\nabla \times(\nabla u)=\vec{0}.

A⃗\vec{A}是一个势量场(势函数是uu)等价于∇×A⃗=0\nabla \times \vec{A}=0

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