Skip to content

静电场2

电势V=q4πε0rV=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} 注意电场强度是二次方，电势是一次方

无穷远处电势为0，P点点数电势VP=∫P∞EdxV_P=\int_P^{\infty} Edx

E⃗=−∇V\vec{E}=-\nabla V 负号，注意混合项的偏导

电容

C=QU=QUA−UB=Q∫EdlC=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{U_A-U_B}=\frac{Q}{\int Edl}

孤立球形导体,U=14πε0QR,C=4πε0RU=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{R},\boxed{C=4\pi \varepsilon_0R}

平行板 E=ε0Sd\boxed{E=\frac{\varepsilon_0 S}{d}}, 有电介质就乘上ε\varepsilon 串并联注意dd是否相等

平行柱面: E=λ2πε0rE=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}

​ UA−UB=∫RARBEdrU_A-U_B=\int_{R_A}^{R_B}Edr （注意积分上下限A,B和电压是反过来的

​ C=λlUA−UB=2πε0lln⁡(RBRA)C=\frac{\lambda l}{U_A-U_B}=\frac{2\pi \varepsilon_0 l}{\ln (\frac{R_B}{R_A})}

电介质

电介质的极化

极化强度P=∑pe⃗VP=\frac{\sum \vec{p_e}}{V} 单位体积电偶极矩矢量和

介质P=xeε0EP=x_e \varepsilon_0 E

表面束缚电荷密度σ′=Pcos⁡θ\sigma'=P\cos\theta, θ\theta是P⃗\vec{P}与平面法线夹角

b73e02e3132865ee9e4d96b3d78c4bd4.png

031a904ff85b1af6aa366bcacc543fd2.png

圆环,半径Rsin⁡θR\sin \theta, 宽度RdθRd\theta 395260c28ecead422a30b04eeffda7ab.png

电介质中的场强

E⃗=E0⃗+E′⃗,E′\vec{E}=\vec{E_0}+\vec{E'},E'为极化电荷激发的电场，方向与自由电荷激发的电场相反

E=σ0ε0−σ′ε0E=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}-\frac{\sigma'}{\varepsilon_0}

电位移矢量

定义D⃗=ε0E⃗+P⃗\boxed{\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}}

极化电荷面密度σ′=Psin⁡θ\sigma'=P\sin \theta, 内表面−P-P,外表面P

在各向同性介质中,将极化强度的定义代入D=(1+xe)ε0E=εε0ED=(1+x_e)\varepsilon_0E=\varepsilon\varepsilon_0 E

D=εε0E\boxed{D=\varepsilon\varepsilon_0 E} ε\varepsilon: 相对介电常数

有电介质的高斯定理

∮D⃗⋅dS⃗=q0 \boxed{\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=q_0}

8a9b12bd0d8e7a6a330038e6c5ad69f5.png 747edbc2519addc691e360ae3b41fd88.png

注意对介质来说,PP和ene_n方向相反。类似于前面电介质球最左侧的情况

5e802d2cc720e51e6dfe18880e57bfac.png

注意第二类曲面积分符号，向内侧和外侧符号相反

D1=D2=σε0D_1=D_2=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} E=E=

静电场的环路定理(静电场是保守场，绕一圈回到原点，电势不变，做功为0）:

∮E⃗⋅dl⃗=0 \oint \vec{E}\cdot d \vec{l}=0

如果用高斯定理解不出来，再加上环路定理列方程

例:两个电容器并联

电场的能量

电荷相互作用的静电能

W=12∑i=1nqiUi W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_i U_i

UiU_i是其他电荷在qiq_i处产生的电势。积分形式

W=12∭VUdq W=\frac{1}{2}\iiint_V Udq

这里的VV是对带电导体

电容器的静电能

已经带qq,增加电荷dqdq, U=q/CU=q/C dW=UdqdW=Udq

积分∫0QqdqC\int_0^Q \frac{qdq}{C}

W=12Q2C=12QU=12CU2 \boxed{W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}CU^2}

cc3a55687ee2b4a769b498967a1e2a0c.png

用能量法,F=−dW/dxF=-dW/dx

看成两个电容器并联C=C1+C2C=C_1+C_2 e2fc1b78c20e22538775d09e17b4439a.png

2b29addc3626b90e0236a2a7936ebf8c.png

静电场的能量

U=Ed,Q=σS,E=σεε0U=Ed,Q=\sigma S,E=\frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_0}

代入得W=12εε0ESEd=12εε0E2VW=\frac{1}{2}\varepsilon\varepsilon_0 ESEd=\frac{1}{2}\varepsilon\varepsilon_0E^2 V VV是电容器体积

定义电场能量密度we=WVw_e=\frac{W}{V}

we=12εε0E2=12ED \boxed{w_e=\frac{1}{2}\varepsilon\varepsilon_0E^2=\frac{1}{2}ED}

对任何静电场w=1/2E⃗⋅D⃗w=1/2\vec{E}\cdot \vec{D}

W=12∭VE⃗⋅D⃗dV W=\frac{1}{2}\iiint_V \vec{E}\cdot \vec{D}dV

注意这里的VV不是对带电导体，而是对整个空间积分

例: 均匀带电球壳产生电场的能量，球壳外真空

we=12ε0E2w_e=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2

E={0,r<Rq4πε0r2,r>RE=\begin{cases}0,r<R \\\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} ,r>R\end{cases}

W=∫R∞we4πr2dr=q28πε0R W=\int_R^{\infty}w_e 4\pi r^2dr=\frac{q^2}{8\pi \varepsilon_0 R}

af63e8a02feac3281117501f153f5795.png

这里没说导体球, 是绝缘体，所以内部电场强度不为0

E={qr4πε0R3,r<Rq4πε0r2,r>RE=\begin{cases} \frac{qr}{4\pi \varepsilon_0 R^3} ,r<R \\\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} ,r>R\end{cases}

分(0,R)(0,R)和(R,+∞)(R,+\infty)两段积分

计算均匀带电Q 导体球的静电能,球外为介电常数ε\varepsilon电介质

带电导体内部场强为0

内部D=E=0D=E=0

外部D=Q4πr2,E=Q4πr2ε0ε(r>R)D=\frac{Q}{4\pi r^2},E=\frac{Q}{4\pi r^2\varepsilon_0\varepsilon}(r>R)

∫R∞12DE⋅4πr2dr=Q28πε0εR2 \int _{R}^{\infty} \frac{1}{2}DE\cdot \color{cyan}4\pi r^2dr=\frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0\varepsilon R^2}

Comments