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磁场

电流

电流密度矢量\(j\)

大小

\[j=\frac{dI}{dS} \]

, 方向是正电荷载流子速度方向

\(I=\iint_S \vec{j}\cdot{d\vec{S}}\)

\(j=env_d\)

电导率\(\gamma=\frac{1}{\rho}\) \(R=\frac{1}{\gamma}\frac{L}{S}\) \(U=EL,I=jS\),代入欧姆定律得

\(j=\gamma E\) (欧姆定律微分形式)

磁场

磁感应强度

单位1T=1N/(A·m)

\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\)

磁感应线

  • 闭合曲线
  • 方向和电流方向用右手螺旋

毕奥-萨伐尔定律

\[ \boxed{d\vec{B}=\frac{\mu_0 Id\vec{l}\times \vec{r} }{4\pi r^3}} \]
\[ \vec{B}=\int_L d\vec{B} \]

dB同向时

\[ \boxed{\vec{B}=\int_L \frac{\mu_0 I}{\color{Red}4\pi r^2}dl \color{cyan}{\sin\theta}} \]

其中\(\theta\) 是 \(\vec{r}\) 与\(d\vec{l}\)的夹角

积分注意量纲, B的量纲是\(\mu_0I/R\), 注意dr也要算成一个r

无限长直导线

电流I,距离导线距离为\(a\)的点P的磁感应强度

\(l=a\tan \theta\) \(dl=a/\cos^2\theta\)

\(r=a/\cos \theta\)

\(\vec{l},{\vec{r}}\)夹角\(\sin (\theta+\frac{\pi}{2})=\cos \theta\)

\[ B=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\mu_0 I}{a^2/\cos^2\theta} \frac{a}{\cos^2\theta}\sin (\theta+\frac{\pi}{2})d\theta \]
\[ \boxed{B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}} \]

线圈

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这里的\(dl\)是圆心线圈的一段

  • 圆心\(x=0\) n匝线圈×n

$$ \boxed{B=\frac{\mu_0 I}{2R}}

$$

  • \(x>>r\) \(B=\frac{\mu_0 IR^2}{x^3}=\frac{\mu_0IS}{2\pi x^3}\) \(S\)是圆的面积

定义磁矩\(\vec{p_m}=IS \vec{n}\) 类似电偶极矩 \(\vec{B}=\mu_0\vec{p_m}/2\pi x^3\)

螺线管

利用线圈

\(n\)是单位长度的匝数

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运动电荷

\(q_1\),运动速度\(v<<\)

\(B=\frac{\mu_0I dl}{4\pi r^2},Idl=qdl/dt=qv, B=\frac{\mu_0q_0v}{4\pi r^2}\)

磁场的高斯定理

电场高斯定理\(\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q\)

\[ \oint \vec{B}\cdot d \vec{S}=0 \]

磁场是是无源场

安培环路定理

静电场环流为0, \(\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0\)

磁场环流不为0 磁感应线闭合 磁场不是有势场

\[ \boxed{\oint_L \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0\sum I} \]

​ \(I\)是穿过闭合曲线L为边界所张任何曲面的电流

无限长直导线

取半径为r的圆作为环路，由对称性 \(B\cdot 2\pi r=\mu_0I\)

\(\boxed{B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}}\)

载流螺绕环

匝数\(N\) 内部的电流沿着管向前，绕一圈\(B\cdot 2\pi r=\mu_0NI\)

令\(l=2\pi r\) ,\(B=\mu_0 \frac{N}{l}I=\mu_0nI\)

载流长直螺线管内的磁场分布

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中心位置\(\boxed{B=\mu_0nI}\)

对管内任意位置,做环路ABCD, \(\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=0\)，得到\(B_1=B=\mu_0nI\). 说明内部是均匀的

对管外,做环路ABEF, 围住长度l的一段电流,\(\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=Bl-B_2l=\mu_0 nIl\) 得\(B_2=0\)

向管内插入磁介质的情况

  • \(H=nI,B=\mu_r\mu_0nI\)

无限大圆柱形

例2 ea3eee75707002f164580e34e13517bf.png

\(v=R\beta t\), 单位长度的电流\(I=\sigma vdt/dt=\sigma \beta t R\)

\(B=\mu_0 I=\mu_0\sigma \beta t R\)

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空腔看成完整的补反向电流.注意两个\(\vec{B}\)方向不同!

电流密度\(j=\frac{I}{\pi (R^2-r^2)}\)， 有\(2\pi r_1 B_1=\mu_0\pi r_1^2 j\)

接着矢量合成，因为两边是直角, \(<B_1,B_2>=\alpha+\theta\)

注意几何关系\(r_1\cos \theta+r_2\sin \alpha=d, r_1\sin \theta=r_2\sin \alpha\)

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磁矩

\(p_m=NIS\), \(N\)是线圈匝数，S是线圈围成的面积。 方向垂直于线圈

电子的磁矩\(I=\frac{e}{T}=\frac{ev}{2\pi r}\) \(p_m=IS=\frac{evr}{2}\)

磁矩的方向用右手定则 判断

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磁力矩\(\vec{M}=\vec{p_m}\times \vec{B}\) \(M=NISB\sin\theta\)

注意夹角是平面法向量和磁场方向的夹角 和平面与磁场方向夹角互余

安培力

\(d\vec{F}= Id\vec{l}\times \vec{B}\)

两平行载流导线

单位长度受力 \(\frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1I_2}{d}\)

线圈

所受合力\(\vec{F}=\oint Idl\times B=0\)

\(\vec{M}=NBIS\sin \varphi=\vec{p_m}\times \vec{B}\)

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磁力做功

平动 \(A=I\Delta \Phi\)

转动\(M=BIS\sin \varphi\), \(dA=-Md\varphi\)

\(\boxed{A=I\Delta \Phi}\)

霍尔效应: 注意外加电压和霍尔电压的区别，外加电压决定\(I=U/d\)

磁介质中的磁场

\(B=B_0+B'\) \(B_0\)是真空中原来的磁感应强度 磁场强度(单位A/m):

\[ H=\frac{B}{\mu_0}-M \]

磁化强度 \(M=\frac{\sum \vec{p_M}}{\Delta V}\) , 各分子磁矩矢量和,单位A/m

​ \(M=j_m\) 磁介质表面单位长度的束缚电流

安培环路定理:

\[ \boxed{\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I} \]

各向同性介质中

\[ \boxed{B=\mu_0\mu_r H} \]

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电磁感应

感应电动势

\[ \boxed{\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi}{dt}} \]

这里\(E\)是涡旋电场的电场强度。感应电动势用符号\(\mathscr{E}\). 类比对电场强度积分得到电势

\(\mathscr{E}=-\frac{d\Phi}{dt}\)

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法一:

感应电动势\(\mathcal{E}=\int \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi}{dt}\)

感应电场\(E\times2\pi r=-\frac{dB}{dt}\pi r^2\) 得\(E=\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}\) 再沿棒分解去积分

法二:

取回路OAB, 回路总\(\mathcal{E}=\frac{hLdB}{2dt}\). 沿半径\(Oa\),因为感应电场方向与半径垂直,\(\vec{E}\cdot d\vec{l}=0\), 所以Oa,Ob没有感应电动势,\(\mathcal{E}_{ab}=\frac{hLdB}{2dt}\)

动生电动势

\[ \boxed{d\mathscr{E}=(\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}} \]

注意叉乘结果的矢量与\(d\vec{l}\)的夹角

棒旋转 ，与磁场垂直： \(\mathscr{E}=\frac{1}{2}B\omega l^2\)

电动机的结论

电感

自感系数\(\boxed{L=\frac{Nd\Phi}{dI}}\) 单位亨利(H)

由法拉第电磁感应定律\(\mathscr{E}=-\frac{Nd\Phi}{dt}=-L\frac{dI}{dt}\)

对于线圈\(B=\mu_0nI,\Phi=BS,N=nl\)

得\(\boxed{L=\mu_0n^2lS}\) \(l\)是螺线管长度

互感系数\(M=\frac{N_2\Phi_{21}}{I_1}\)

L-R电路

\(\mathscr{E}-L\frac{dI}{dt}=IR\)

解微分方程得\(I=\frac{\mathscr{E}}{R}(1-e^{-Rt/L})\)

磁场的能量

一般的 \(w_m=\frac{1}{2} \vec{B}\cdot \vec{H}\)

对于电感\(U_m=\frac{1}{2}LI^2\)

电磁场

位移电流\(I_D=\frac{d\Phi_D}{dt}\)

位移电流密度\(j_D=I_D/S=\frac{dD}{dt}\)

安培环路定理

\[ \boxed{\oint_L H\cdot dl=I+\frac{d\Phi_D}{dt}} \]

例: 圆形电容器充电,\(\sigma=kt\), 求距轴线距离为r的磁场强度H，。极板半径R

I=0 所以\(H\cdot 2\pi r= j_D\cdot\pi r^2,位移电流密度j_D=\frac{dD}{dt}=\frac{d\sigma}{dt},\sigma=\frac{dq}{\pi R^2}\)

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