2.5第二类曲面积分
第二类曲面积分的定义
两个形式: \(\vec{A}=(P,Q,R),\vec{n}=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma),dydz=dS\cos \alpha,dxdz=dS\cos\beta,dxdy=dS\cos \gamma\)
\[
\begin{aligned}&\iint \vec{A}\cdot d\vec{S}=\iint \vec{A}\cdot \vec{n} dS\\&= \iint(P\cos \alpha+Q\cos \beta+R\cos \gamma)dS\\&=\iint Pdydz+Qdxdz+Rdxdy\end{aligned}
\]
按定义计算(分片投影法)
- 分别投影到3个平面上
- 根据曲面方程代换掉\(x,y,z\)中的一个
-
确定符号: 如\(xOy\)平面,考虑\(z\)轴正向与法向量夹角,锐角+,钝角-。法向量的方向根据外侧/内侧决定
-
曲面平行于x轴,dydz=0. 平行于y轴,dxdz=0
- 垂直于z轴,dxdz=dydz=0.
\(x^2dydz\)只需要考虑与x轴垂直的2个面, \(\iint 0dydz+a^2dydz=a^2bc\)
第二类曲面积分不具有奇偶对称性(有上下侧)
配套积分技巧 二重积分极坐标
- \(p(r)\sqrt{1-r^2}\) 三角换元
- \(\sin \theta \cos \theta\) 凑微分
与第一类曲面积分的联系(合一投影法)
关键\(\boxed{dydz=dS\cos \alpha,dxdz=dS\cos\beta,dxdy=dS\cos \gamma}\). 其中\((\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)\)是\(dS\)的法向量
如果投影到平面上的区域不是圆或矩形，而是抛物线、椭圆等,那二重积分就不好计算.我们可以回到第二类曲线积分的一种定义,进一步变形
例
dS指的是对曲面的微元。其实直接对三个积分分别投影也能做,\(\iint zdxdy=0,xdydz=ydzdx\)
例:
高斯公式
封闭曲面\(\Sigma\)围成的立体\(\Omega\)
\[
\iiint(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz=\oiint(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)
\]
曲面取外侧
注意\(Pdydz\),对\(x\)求导(微分里面没有谁,就对谁求导)
曲面补成封闭曲面
先代换消掉分子的根号
斯托克斯公式
\[
\oint Pdx+Qdy+Rdz=\oiint \left|\begin{matrix}&dydz &dxdz &dxdy \\ &\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ &P &Q &R\end{matrix} \right|
\]
曲线化成曲面积分
空间曲线积分与路径无关
TBD