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2.5第二类曲面积分

第二类曲面积分的定义

两个形式: \(\vec{A}=(P,Q,R),\vec{n}=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma),dydz=dS\cos \alpha,dxdz=dS\cos\beta,dxdy=dS\cos \gamma\)

\[ \begin{aligned}&\iint \vec{A}\cdot d\vec{S}=\iint \vec{A}\cdot \vec{n} dS\\&= \iint(P\cos \alpha+Q\cos \beta+R\cos \gamma)dS\\&=\iint Pdydz+Qdxdz+Rdxdy\end{aligned} \]

按定义计算(分片投影法)

  1. 分别投影到3个平面上
  2. 根据曲面方程代换掉\(x,y,z\)中的一个
  3. 确定符号: 如\(xOy\)平面,考虑\(z\)正向与法向量夹角,锐角+,钝角-。法向量的方向根据外侧/内侧决定

  4. 曲面平行于x轴,dydz=0. 平行于y轴,dxdz=0

  5. 垂直于z轴,dxdz=dydz=0.

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\(x^2dydz\)只需要考虑与x轴垂直的2个面, \(\iint 0dydz+a^2dydz=a^2bc\)

第二类曲面积分不具有奇偶对称性(有上下侧)

配套积分技巧 二重积分极坐标

  • \(p(r)\sqrt{1-r^2}\) 三角换元
  • \(\sin \theta \cos \theta\) 凑微分

与第一类曲面积分的联系(合一投影法)

关键\(\boxed{dydz=dS\cos \alpha,dxdz=dS\cos\beta,dxdy=dS\cos \gamma}\). 其中\((\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)\)\(dS\)的法向量

如果投影到平面上的区域不是圆或矩形,而是抛物线、椭圆等,那二重积分就不好计算.我们可以回到第二类曲线积分的一种定义,进一步变形

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dS指的是对曲面的微元。其实直接对三个积分分别投影也能做,\(\iint zdxdy=0,xdydz=ydzdx\)

例:5d166f6101486e05d45c44e357f9e491.png 9066e8b1edd54a2d6677d1fe7493d8bc.png

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高斯公式

封闭曲面\(\Sigma\)围成的立体\(\Omega\)

\[ \iiint(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz=\oiint(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy) \]

曲面取外侧

注意\(Pdydz\),对\(x\)求导(微分里面没有谁,就对谁求导)

曲面补成封闭曲面

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e02589f2a9ff525a988885089cb2a503.png 先代换消掉分子的根号

斯托克斯公式

\[ \oint Pdx+Qdy+Rdz=\oiint \left|\begin{matrix}&dydz &dxdz &dxdy \\ &\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ &P &Q &R\end{matrix} \right| \]

曲线化成曲面积分

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空间曲线积分与路径无关

TBD

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