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3 Arithmetic

Arithmetic

补充

除法器

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IEEE浮点数

浮点数定义

符号位S 指数 exp, 尾数fra 长度分别为E,FE,F

bias一般是2E−1−12^{E-1}-1 (相当于excess 2E−12^{E-1}码)

exp([0,2E−1][0,2^E-1]) fra 表示的数
0 0 0
0 ≠0 非规格化数
1∼2E−21\sim2^{E}-2 (−1)S(1+fra)⋅2exp−bias(-1)^S(1+fra)\cdot 2^{exp-bias}
2E−12^E-1 0 ±inf
2E−12^E-1 ≠0 NaN

范围[21−bias,(2−2−F)22E−2−bias]=[2−2E−1+2,(2−2−F)22E−1−1][2^{1-bias},(2-2^{-F})2^{2^E-2-bias}]=[2^{-2^{E-1}+2},(2-2^{-F})2^{2^{E-1}-1}] 规律：上下界的指数的绝对值差1

精度 2−F2^{-F}

S E F 范围 精度
单精度(32) 1 8 23 [2−126,(2−2−23)2127][2^{-126},(2-2^{-23})2^{127}]
双精度(64) 1 11 52 [2−1022,(2−2−52)21023][2^{-1022},(2-2^{-52})2^{1023}]
半精度(16) 1 5 10

其他的浮点数: 注意尾数有没有hidden 1 指数是补码还是有bias

加法

  1. 把小指数对齐到大指数，尾数移位 (因为后面的位不重要)
  2. 尾数相加
  3. 规格化
  4. 舍入

乘法

  1. 指数相加，然后-bias
  2. 尾数相乘
  3. 规格化

舍入规则

  • guard / round / sticky
  • 一般的浮点数后面还会有 2 bits，分别称为 guard 和 round
  • 只要 round 右边出现过非零位，就将 sticky 置 1，这一点可以用在加法的右移中，可以记住是否有 1 被移出，从而能够实现 "round to nearest even"。

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